第十四章 整式的乘法与因式分解

$a^m . a^n = a^{m + n}$
$a^m ÷ a^n = a^{m - n}$

$(a^m)^n = a^{mn}$

$(ab)^n = a^n b^n$

$(x + p)(x + q) = x^2 + (p + q)x + pq$
$(ax + p)(bx + q) = abx^2 + (bp + aq)x + pq$

两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差. 这个公式叫做(乘法的)平方差公式(for mula for the difference of squares).
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
⇒ $(n + 1)(n - 1) = n^2 - 1$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ⇒ $a^2 + b^2 > 2ab$ (a ≠ b)
两个数的和(或差)的平方, 等于它们的平方和, 加上(或减去)它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式(formula for the square of the sum).

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$

完全立方公式
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

★背 立方和/差公式
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

立方和累加
$1^3 + 2^3 + ... + n^3 = [{n(n+1) \over 2}]^2 = (1 + 2 + ... + n)^2$

三项立方和公式
$a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc -ac)$

一般地, 如果多项式的各项有公因式, 可以把这个公因式提取出来, 将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式, 这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例1: 把 $8a^3b^2 + 12ab^3c$ 分解因式
解:
  = $4ab^2(2a^2 + 3bc)$

例2: 把 $2a(b + c) - 3(b + c)$ 分解因式
解:
  = $(2a - 3)(b + c)$

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
可以看出, 如果把乘法公式的等号两边互换位置, 就可以得到用于分解因式的公式, 用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式, 这种分解因式的方法叫做公式法.

阅读与思考:
$x^2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)$

十字相乘法(百度百科资料):
用十字相乘的形式形象地表示: 先分解二次项系数, 分别写在十字交叉线的左上角和左下角; 再分解常数项, 分别写在十字交叉线的右上角和右下角; 然后交叉相乘, 求代数和, 使其等于一次项系数(图1).
  $x^2 + 3x + 2$


快速求解十字相乘法心得(设下方函数有解, a≠0):
1.将 $ax^2 + bx + c$ 中的a提取出来, 确保二次项系数=1, 得: $a(x^2 + {b \over a}x + {c \over a})$.
2.然后根据公式快速求出 $x^2 + {b \over a}x + {c \over a}$ 的解 $C_1, \ C_2$.
3.最后结果: $ax^2 + bx + c = a(x - C_1)(x - C_2)$