第九章 解三角形

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(1)如图9-1-2所示, 已知△ABC中, a=5, b=3, ∠C=$\pi \over 3$, 你能求出这个三角形的面积吗?
S△ABC = $1 \over 2$ a * AD;
AD = b * sin$\pi \over 3$
∴ S△ABC = $1 \over 2$ab sinC
= $1 \over 2$ * 3 * 5 * $\sqrt 3 \over 2$ = $15\sqrt 3 \over 4$

S△ABC = $1 \over 2$ab sinC = $1 \over 2$ac sinB = $1 \over 2$bc sinA
⇒ $a \over sin A$ = $b \over sin B$ = $c \over sin C$ = 2r(外接圆直径)

正弦定理: 在一个三角形中, 各边的长和它所对角的正弦的比相等, 等于2r(外接圆直径).

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$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \ cos \ C$
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \ cos \ A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \ cos \ B$

余弦定理: 三角形任意一边的平方, 等于其它两边的平方和减去这两边与他们夹角余弦的积的2倍.
⇒
cos A = $b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc$
cos B = $a^2 + c^2 - b^2 \over 2ac$
cos C = $a^2 + b^2 - c^2 \over 2ab$

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a = $b \ cos \ C + c \ cos \ B$
b = $a \ cos \ C + c \ cos \ A$
c = $a \ cos \ B + b \ cos \ A$

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$a^2 + b^2 + c^2 = 2(bc \ cosA + ac \ cos B + ab \ cos C)$

1.秦九韶的“三斜求积术”

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S = $\sqrt {{1 \over 4} [c^2 a^2 - ({c^2 + a^2 - b^2 \over 2})^2]}$

2.海伦公式(更好记, 更好算)
S = $\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)} \ , \ p = {(a + b + c) \over 2}$