第七章 三角函数

  角的概念的推广: 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角, 这两条射线分别称为角的始边和终边. 射线的旋转有两个相反的方向: 顺时针方向和逆时针方向. 习惯上规定, 按照逆时针方向旋转而成的角称为正角; 按照顺时针方向旋转而成的角称为负角; 当射线没有旋转时, 我们也把它看成一个角, 称为零角.
  这样定义的角,由于是旋转生成的, 所以也常称为转角.
值得注意的是, 上述角的定义中, 当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时, 旋转的绝对量可以是任意的. 因此, 角的概念经过以上的推广以后, 就包括正角、负角、零角.也就是说, 角的大小是任意的. 由此, 我们把角的概念推广到了任意角.

右上角是第1象限, 左上角是第2象限, 左下角是第3象限, 右下角是第4象限.

角除了使用角度来度量外, 还可以使用弧度来度量.

角度制: 使用角度来度量角时, 是把圆周等分成360份, 其中每一份所对应的圆心角为1度, 这种用度作单位来度量角的制度称为角度制. 角度制还规定1度等于60分, 1分等于60秒, 即
1°=60′, 1′=60″

弧度制:
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${弧的长度 \over 弧的半径} =$ ${\begin{matrix} ⌒\\ {AB}\\ \end{matrix} \over OA} = {\begin{matrix} ⌒\\ {A′B′}\\ \end{matrix} \over OA′} $ = 弧度数(定值)
设弧的角度 $\alpha$ = n°, 弧长l, 半径r:
${l \over r}$ = ${2 \pi r} \ * \ n \over 360 \ * \ r$ = $n {2\pi \over 360}$

我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数.
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角, 记作1rad.
如图7-1-9所示, 因为∠AOB 就是1弧度的角.
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弧度制:这样规定出来的1弧度的角大小是完全确定的, 这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
1rad = $360 * r \over 2 \pi r$ = $180 \over \pi$ ≈ ‪57.29578‬°

因为半径为r的圆周长为 $2\pi r$, 所以周角的弧度数是$2\pi r \over r$=$2\pi$, 于是$360° = 2\pi \ rad$, 因此$180° = \pi \ rad$.
由此容易得到弧度制与角度制的换算公式:
设一个角的角度数为n, 弧度数为a, 则
∵ 一个圆的弧度数 = $2 \pi \ rad$
∴ ${n \over 360} = {a \over 2\pi}$
⇒ ${n \over 180} = {a \over \pi}$

因此, 0 rad角就是0°角, 它的终边在x轴的正半轴上;
${\pi \over 2} rad$ 角就是90°角, 它的终边在y轴的正半轴上;
$\pi \ rad$ 角就是180角, 它的终边在x轴的负半轴上;
${3 \pi \over 2} rad$ 角就是270角, 它的终边在y轴的负半轴上.

参考视频
$sin α = {a \over c}$
$cos α = {b \over c}$
$tan α = {a \over b}$
$sin β = sin(180‬° - β) = {a \over c}$
$cos β = cos(180‬° - β) = {b \over c}$
$tan β = tan(180‬° - β) = {a \over b}$

sin x: 1,2 象限值>0, 正.   3,4象限 负
cos x: 1,4 象限值>0, 正.   2,3象限 负
tan x: 1,3 象限值>0, 正.   2,4象限 负

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设圆的半径 = 1:
sin $\alpha$ = $\overrightarrow {MP} \over 1$ = $\overrightarrow {MP}$
cos $\alpha$ = $\overrightarrow {OM} \over 1$ = $\overrightarrow {OM}$
$\overrightarrow {OM}$ 为角 $\alpha$ 的余弦线.
$\overrightarrow {MP}$ 为角 $\alpha$ 的正弦线.

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设 OA = 1:
tan $\alpha$ = $\overrightarrow {AT} \over OA$ = $\overrightarrow {AT}$
tan $\beta$ = $\overrightarrow {AS} \over OA$ = $\overrightarrow {AS}$
$\overrightarrow {AT}$ 为角 $\alpha$ 的正切线.
$\overrightarrow {AS}$ 为角 $\beta$ 的正切线.

$sin \alpha = {x \over z}$, $cos \alpha = {y \over z}$, $tan \alpha = {x \over y}$
⇒ $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$
⇒ $tan \alpha = {sin \ \alpha \over cos \ \alpha}$
$cot \alpha = {1 \over tan \ \alpha}$
$sec \alpha = {1 \over cos \ \alpha}$
$csc \alpha = {1 \over sin \ \alpha}$
$tan ^2 \alpha + 1$$ = {sin ^2 \alpha \over cos ^2 \ \alpha} + 1 = {{sin ^2 \alpha + cos ^2 \alpha} \over cos ^2 \alpha} = {1 \over cos ^2 \alpha}$ = ${sec ^2 \alpha}$
⇒ $cot ^2 \alpha + 1 = {csc ^2 \ \alpha}$

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1. 同一条红线相乘 = 1
   sin α . csc α = 1
   cos α . sec α = 1
   tan α . cot α = 1
2. 绿色倒三角 "▼" 的顶部平方和 = 底部²
   sin²α + cos²α = 1²
   tan²α + 1² = sec²α
   1² + cot²α = csc²α
3. 一个顶点 = 它顺(逆)时针的下1个顶点 ÷ 顺(逆)时针第2个顶点
   3.1.🔃顺时针
   sin α = cos α ÷ cot α
   cos α = cot α ÷ csc α
   cot α = csc α ÷ sec α
   csc α = sec α ÷ tan α
   sec α = tan α ÷ sin α
   tan α = sin α ÷ cos α
   3.2.🔄逆时针
   sin α = tan α ÷ sec α
   tan α = sec α ÷ csc α
   sec α = csc α ÷ cot α
   csc α = cot α ÷ cos α
   cot α = cos α ÷ sin α
   cos α = sin α ÷ tan α

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百度扩展资料
$tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C$
证明:
$\begin{align} tan A + tan B & = tan(A + B) (1 - tan A.tan B) \\ & = tan(\pi - C) (1 - tanA . tan B) \\ & = - tan C (1 - tanA . tan B) \\ & = tan A . tan B . tan C - tanC \end{align}$
$∴ tan A + tan B + tan C = tanA.tan B.tan C$

在初中,我们已经知道一些锐角的三角函数值及它们之间的一些关系, 例如,
sin30° = cos60° = $1 \over 2$,
sin45° = $\sqrt 2 \over 2$,
sin60° = cos30° = $\sqrt 3 \over 2$

sin(α + k·2π) = sina α
cos(α + k·2π) = cosa α
tan(α + k·2π) = tana α

sin (-α) = - sin α
cos α = - cos α
tan (-α) = - tan α

sin (π-α) = sin α
cos (π-α) = - cos α
tan (π-α) = - tan α

sin (π+α) = - sin α
cos (π+α) = - cos α
tan (π+α) = tan α

sin ($π \over 2$-α) = cos α
cos ($π \over 2$-α) = sin α
tan ($π \over 2$-α) = cot α
cot ($π \over 2$-α) = tan α

sin ($π \over 2$+α) = cos α
cos ($π \over 2$+α) = - sin α
tan ($π \over 2$+α) = - cot α
cot ($π \over 2$+α) = - tan α
...

1.定义域与值域: 定义域 ∈ R, 值域[-1, 1]
2.奇函数: 关于原点对称
3.周期性: sin(x + k.2π) = sin x (k ∈ z)
4.单调性: 在某个区间递增/递减.
5.正弦函数的零点: y = sin x 的零点为kπ (k ∈ z)

y = Asin(ωx + ϕ) (A ≠ 0, ω ≠ 0) 的定义域为R:
值域: [-|A|, |A|]
周期: $2π \over |ω|$
像左位移: $ϕ \over ω$ (结果>0: 左移. 结果<0: 右移)

如下图1, 分别是以下4个正弦函数:
y = sin x
y = sin 2x
y = 3sin 2x
y = 3sin (2x + $\pi \over 3$)

1.定义域与值域: 定义域 ∈ R, 值域[-1, 1]
2.偶函数: 关于Y轴对称
3.周期性: cos(x + k.2π) = cos x (k ∈ z)
4.单调性: 在某个区间递增/递减.
5.余弦函数的零点: y = cos x 的零点为kπ + $π \over 2$ (k ∈ z)

y = Acos(ωx + ϕ) (A ≠ 0, ω ≠ 0) 的定义域为R:
值域: [-|A|, |A|]
周期: $2π \over |ω|$
像左位移: $ϕ \over ω$ (结果>0: 左移. 结果<0: 右移)

如下图1, 分别是以下4个余弦函数:
y = cos x
y = cos 2x
y = 3cos 2x
y = 3cos (2x + $\pi \over 3$)

1.定义域与值域
  y = tan x 定义域: {x|x≠$\pi \over 2$+kπ, k∈R}
2.奇偶性: 奇函数
3.周期性: tan(x + π) = tan x
4.单调性: 在(-$\pi \over 2$+kπ, $\pi \over 2$+kπ) (k∈R) 上单调递增