第四章 指数函数、对数函数与幂函数

1.初中我们已经学习了整数指数幂的知识,例如
$2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32$,
$3^0 = 1$,
$5^{-3} = {1 \over 5 ^ 3}$ = ${1 \over 125}$
$a^{-n}$ = $a^{0-n} = {a^0 \over a^n}$ $ = {1 \over a ^ n}$
一般地, $a^n$ 中的 a 称为底数, n称为指数.
整数指数幂运算的运算法则有
$a^ma^n = a^{m+n}$, ${a^m \over a^n} = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^m = a^mb^m$
$({a \over b})^n = {a^n \over b^n}$
注意: $(a^m)^n ≠ [a^{m^n} = a^{(m^n)}]$ ★: 如果指数部分不加括号, 默认先算指数!!!
示例1: $[{(2^2)}^3 = 2^{(2*3)} = 64] \ \ \ \ \ ≠ \ \ \ \ \ [2^{(2^3)} = 256]$
示例2: $[{(10^e)}^{ln \ 1} = 1] \ \ \ \ \ ≠ \ \ \ \ \ [10^{(e^{ln \ 1})} = 10]$

2.另外,初中我们还学习了平方根和立方根.
二次根式的运算法则:
$(\sqrt a)^2 = a$, $\sqrt a \sqrt b = \sqrt {ab}$, ${\sqrt a \over \sqrt b} = \sqrt {a \over b}$

3.分数指数幂
$(5^{1 \over 2})^2 = 5^{{1 \over 2} * 2} = 5^1 = 5$
$a^{1 \over n} = \sqrt[n]{a}$
$5^{3 \over 4} = (5^3)^{1 \over 4} = (5^{1 \over 4})^3$
$a^{m \over n} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$

${\sqrt [n]{n!}\over n} = {{1 \over n}(n!)^{1 \over n}}$
$= {({1 \over n} {2 \over n} ... {n \over n})^{1 \over n}}$ $1 \over n$ 可以乘进去!!!
$= {e^{{1 \over n} ln({1 \over n} {2 \over n} ... {n \over n})}}$
$= {e^{{1 \over n} \sum_{i=1}^n ln {i \over n}}}$ 注意这种转换方式!!!

有理指数幂还可以推广到无理指数幂. 例:
$a^\pi$

$y = a^x$ (a是常数, a ＞0, 且 a ≠ 1)
指数函数必过 (0, 1) 点.
例: $y = 2^x$, 见下图1

如果 $a^x = N$(a > 0, a ≠ 1), 那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作:
$x = log_a \ N$(N > 0), 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.
N 必须>0, 负数和零没有对数.

1.以 10 为底的对数称为常用对数, 即: $log_{10} \ N$.
1.1.为了简便起见, 常用对数的表示中, 通常把底10略去不写, 并把“log”写成“lg", 即把 $log_{10} \ N$ 简写为$lg \ N$.

2.在科学技术中, 常常还使用以无理数 e=2.71828… 为底的对数, 以e为底的对数称为自然对数, 自然对数 $log_e \ N$ 通常简写为 $ln \ N$. $e = \displaystyle \lim_{n \to \infty} (1 + {1 \over n})^n$(大学的求极限)

设$a^\alpha =M > 0, \ a^\beta =N > 0$, 则 $log_a \ M = \alpha, \ log_a \ N = \beta$.
由 $a^{\alpha + \beta} = a^\alpha a^\beta = MN$
可知 $log(MN) = a + β$, 代人 $\alpha$ 与 $\beta$ 的值, 有:

	推导出方程	说明
	⇒ $log_a \ (MN) = log_a M + log_a N$
	⇒ $log_a \ ({M \over N}) = log_a M - log_a N$	⇒$ln \ ({1 \over x}) = - ln x$(x=0)
	⇒ $log_a \ (N_1 N_2...N_k) = log_a N_1 + log_a N_2 + ... + log_a N$
	⇒ $log_a \ N^k = k \ log_a N$	(当 $N_1 = N_2 = ... = N_k$ 时)

示例:
	$3*ln \ 9$ = $3 * ln \ 3^2$ = $6*ln \ 3$ $ln \ 25$ = $ln \ 5^2$ = $2*ln \ 5$ $ln \ 8$ = $ln \ 2^3$ = $3*ln \ 2$

  在没有计算器的时代, 人们曾花费了大量的精力, 求出一些常用对数的近似值, 制成表格以供大家查询使用. 这样一来, 大家就可以根据已知的值和对数运算法则 求出另一些对数的值, 例如: lg3≈0.4771, lg5≈0.6990.

求 $log_3 \ 5$ 的值?
设 $log_3 \ 5=x$, 则 $3^x = 5$, $lg \ {3^x} = lg \ 5$, 即$x \ lg3 = lg5$, 所以$x = {lg \ 5 \over lg \ 3} = {ln \ 5 \over ln \ 3}$ ≈ 1.4651.

⇒ 换底公式:
$log_a \ b = {lg \ b \over lg \ a} = {ln \ b \over ln \ a} = {log_c \ b \over log_c \ a} (a,b,c > 0, \ a ≠ 1, c ≠ 1)$
c 底数可以是任意>0且≠0的数, 但一般处理为 10 或 e, 例如$x \ lg3 ≈ 0.4771x$

示例:
	注意: ${log_a \ M \over log_a \ N} = log_N^M$ ${log_a \ M \over log_a \ N} ≠ log_a ({M \over N})$(★: 不等于!!!)
	示例1: ${ln \ 6 \over ln \ 2}$ = 2.5849625007212 $log_2^6$ = 2.5849625007212 $ln \ {6 \over 2} = ln \ 3$ = 1.0986122886681

$y = log_a \ x$ 称为对数函数(a是常数, a>0, a ≠ 1).
$y = log_a \ x$ 与 $y = log_{1 \over a} \ x$ 函数沿 X 轴对称.
∵ $y = log_{1 \over a} x = log_{a^(-1)} x = {log x \over log a^{-1}} = {log x \over -log a} = -log_a x$

当 a > 1, $y = log_a x$ 是增函数.
当 0 < a < 1, $y=log_a x$ 是减函数.
见下图1:

  如果在函数y=f(x)中, 给定值域中任意一个y的值. 只有唯一的x与之对应, 那么x是y的函数. 这个函数称为y=f(x)的反函数.
  此时, 称y=f(x)存在反函数. 而且, 如果函数的自变量仍用x表示, 因变量仍用y表示, 则函数y=f(x)的反函数的表达式, 可以通过对调 y=f(x) 中的x与y. 然后从 x=f(y) 中求出y得到.

例如, $y=2^x$ 是增函数. 因此任意给定一个y值, 只有唯一的x与之对应, 所以$y=2^x$存在反函数. 对调 $y=2^x$ 中的x和y得 $x=2^y$, 解得 $y=log_2 \ x$.
因此, $y = log_2 \ x$ 是 $y = 2^x$ 的反函数. 函数图像如下图1

函数 $y=f(x)$ 的反函数记作 $y=f^{-1}(x)$.
值得注意的是, $y=f(x)$ 的定义域与 $y=f^{-1}(x)$ 的值域相同,
$y=f(x)$ 的值域与 $y=f^{-1}(x)$ 的定义域相同,
$y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称.

判断 $f(x) = 2x + 2$ 的是否有反函数, 如果存在, 写出反函数 $f^{-1} (x)$ 的解析式.
解:
  因为 $f(x) = 2x + 2$ 是增函数, 因此任意给定值域中的一个值, 只有唯一的x与之对应, 所以f(x)存在反函数.
令 $y = 2x + 2$, 对调其中的x和y得 $x = 2y + 2$, 解得 $y = {1 \over 2} x - 1$
因此 $f^{-1} (x) = {1 \over 2} x - 1$
f(x)与 $f^{-1}(x)$ 的函数图像如下图2

函数 $y = x^a$ 称为幂函数, a 为常数.
以下都是幂函数:
$y = x, \ y = x^2, \ y = {1 \over x}(= x^{-1}), \ y = x^{1 \over 2}(= \sqrt[2]{x^1} = \sqrt[]{x})$

共同特征:
1.所有幂函数在区间 (0, +$\infty$) 上都有定义, 因此第一象限内都有图像, 且所有图像都经过点(1, 1).
2.如果a > 0, 则幂函数的图像通过原点, 且在区间 [0, +$\infty$) 是增函数.
3.如果 a < 0, 则幂函数在区间 (0, +$\infty$) 上是减函数.
见下方图像1

一家世界500强公司曾经岀过类似这样的一道面试题:
  有一套房子, 价格为200万元, 假设房价每年上涨10%, 某人每年固定能攒下40万元, 如果他想买这套房子, 在不贷款、收入不增加的前提下, 这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子?
(A)5年 (B) 7年 (C)8年 (D)9年 (E)永远也买不起

1.有些银行存款是按复利的方式计算利息的, 即把前一期的利息与本金加在一起作为本金, 再计算下一期的利息. 假设最开始本金为a元,每期的利率为r, 存x期后本息和为f(x)元.
(1)写出∫(x)的解析式;
(2)至少要经过多少期后, 本息和才能不小于本金的2倍?

2.还有一些例子...