第三章 函数

在一个变化过程中, 如果有两个变量 x 与 y, 并且对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与其对应, 那么就称 y 是 x 的函数.

设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 D, 且 $I ⊆ D$;

1.如果对任意 $x_1, \ x_2 ∈ I$, 当 $x_1 < x_2$ 时, 都有 $f(x_1) < f(x_2)$, 则称 $y = f(x)$ 在 I 上是增函数(也称在 I 上单调递增), 如图1所示.
2.如果对任意 $x_1, \ x_2 ∈ I$, 当 $x_1 < x_2$ 时, 都有 $f(x_1) > f(x_2)$, 则称 $y = f(x)$ 在 I 上是减函数(也称在 I 上单调递减), 如图2所示.

给定平面直角坐标系中的任意两点$A(x_1,y_1), B(x_2, y_2)$,当 $x_1 ≠ x_2$ 时,称 $$y_2-y_1 \over x_2 - x_1$$ 为直线AB的斜率; 当x1=x2时,称直线AB的斜率不存在.
直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度.

若记 $△x=x_2-x_1$,相应的 $△y=y_2-y_1$,则当 $△x ≠ 0$ 时,斜率可记为 $△y \over △x$.

设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 D, 如果对 D 内任意一个 x, 都有 -x ∈ D, 且 $$f(x) = f(-x)$$ 则称 $y = f(x)$ 为偶函数, 见下图1.

设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 D, 如果对 D 内任意一个 x, 都有 -x ∈ D, 且
$$f(x) = -f(-x), \ 或 \ f(-x) = -f(x)$$ 则称 $y = f(x)$ 为奇函数, 见下图2.

如果函数 $y = f(x)$ 在实数a处的函数值等于零, 即 f(a) = 0, 则称a为函数 y = f(x) 的零点.
例: 函数 y = x - 1 的零点是 1, 见下图1.

函数零点存在定理:
  如果函数 $y=f(x)$ 在区间(a, b)上的图像是连续不断的, 并且 $f(a) f(b) < 0 $ (即在区间两个端点处的函数值异号), 则函数 $y=f(x)$ 在区间(a,b)中至少有一个零点,即:
$彐 x_0∈(a, b), \ f(x_0) = 0$.

比如阶梯电价