第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1变化率问题
5.1.2导数的概念及其几何意义
对于函数y=f(x), 设自变量 x 从 $x_0$ 变化到 $x_0 + △x$, 相应地, 函数值 y 就从 f($x_0$)
变化到f($x_0 + △x$). 这时, x的变化量为△x, y的变化量为 △y=f($x_0 + △x$) - f($x_0$).
$$f^{'}(x_0) = {\lim_{△x → 0}}{△y \over △x} = {{f(x_0 + △x) - f(x_0)} \over △x}$$
以上函数叫做函数 y=f(x) 从 $x_0$ 到 $x_0 + △x$ 的平均变化率.
如果当 $△x → 0$ 时, 平均变化率元限趋近于一个确定的值, 即有极限, 则称y = f(x)在 $x=x_0$ 处可导,
并把这个确定的值叫做 y=f(x) 在 $x=x_0$ 处的导数(derivative)
(也称为瞬时变化率), 记作 $f'(x_0)$ 或 $dF(x) = f(x)dx$ 或 $y \ '|_{x = x_0}$.
几何意义:
可求函数切线(tangent line), 瞬时变化率, 求速度&加速度等
5.2 导数的运算
| 函数 | 原函数y = | 导函数y' = | 备注 |
| 1.常函数 |
$C$ |
$0$ |
C为常数 |
| 1.1.直线函数 |
$a \ x$ |
$a$ |
|
| 2.指数函数 |
$a^x$ |
$a^x \ ln \ a$ |
a>0, 且a≠1 |
| $e^x$ |
$e^x$ |
|
| 3.幂函数 |
$x^a$ |
$ax^{a - 1}$ |
a∈Q, 且a≠0 |
| $\sqrt x$ |
$1 \over 2 \sqrt x$ |
|
| $1 \over x$ |
- $1 \over x^2$ |
|
| 4.对数函数 |
$log_a \ x$ |
$1 \over x \ ln a$ |
a>0, 且a≠1 |
| $ln \ x$ |
$1 \over x$ |
|
| 5.正弦函数 |
$sin \ x$ |
$cos x$ |
|
| 6.余弦函数 |
$cos \ x$ |
$- sin x$ |
|
| | | | |
| 7.正切函数 |
$tan \ x$ |
${1 \over cos^2 x}$ = $sec^2 x = 1 + tan^2 x$ |
|
| 8.余切函数 |
$cot \ x$ |
$-{1 \over sin^2 x}$
$= - $$csc^2 x$
$= -$$(1 + cot^2 x)$ |
|
| 9.正割函数 |
$sec \ x$ |
$sec x \ tan x$ |
|
| 10.余割函数 |
$csc \ x$ |
$-csc x \ cot x$ |
|
| 11.反正弦函数 |
$arcsin \ x$ |
$1 \over \sqrt {1 - x^2}$ |
|
| 12.反余弦函数 |
$arccos \ x$ |
$- {1 \over \sqrt {1 - x^2}}$ |
|
| 13.反正切函数 |
$arctan \ x$ |
$1 \over 1 + x^2$ |
|
| 14.反余切函数 |
$arccot \ x$ |
$- {1 \over 1 + x^2}$ |
|
| 15.双曲线函数 |
$sh \ x$ |
$ch \ x$ |
|
5.2.2导数的四则运算法则
加减:
$[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)$
$(u + v - w)' = u' + v' - w'$
乘:
$[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
$(uvw)' = (uv)'w + (uv)w'$
$ = (u'v + uv')w + uvw'$
$ = u'vw + uv'w + uvw'$
除:
$[{f(x) \over g(x)}]' = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x) \over [g(x)]^2}$ g(x) ≠ 0
常数x函数:
⇒ $[c f(x)]' = c f'(x)$ c为常数
5.2.3简单复合函数的导数★★★★★
对于两个函数 y=f(u) 和 u=g(x), 如果通过中间变量u, y可以表示成x的函数,
那么称这个函数为函数 y=f(u) 和 u=g(x) 的复合函数(composite function), 记作y=f(g(x)).
对于由函数 y=f(u) 和 u=g(x) 复合而成的函数 y=f(g(x)), 它的导数与函数 y=f(u), u=g(x) 的导数间的关系为:
$y'_x = y'_u . u'_x$
大学高数微分:
${dy \over {dx}} = {dy \over du}.{du \over dx} = f'(u).u'(x) = f'[g(x)].g'(x)$
$★ \ y'_x = y'_n . n'_u . u'_x$(见下例4)
例6 求下列函数的导数:
(1) y = $(3x + 5)^3$, (2) y = $e^{-0.05x + 1}$, (3) y = ln(2x - 1)
(4) $y = cos^2{1 \over x}$
解(1):
(1)函数可看做复合函数, 分别是y = $u^3$, u = 3x + 5
根据公式 $y'_x = y'_u . u'_x$
$y'_x = (u^3)' . (3x + 5)'$
$y'_x = (u^3)' . 3 = 3u^2 . 3$
$y'_x = 9(u^2) = 9(3x + 5)^2$
解(2):
(2)函数的复合函数分别是y = $e^u$, u = -0.05x + 1
根据公式 $y'_x = y'_u . u'_x$
$y'_x = (e^u)' . (-0.05x + 1)'$
$y'_x = e^u . -0.05$
$y'_x = -0.05 \ e^{-0.05x + 1}$
解(3):
(3)函数的复合函数分别是y = ln u, u = 2x - 1
根据公式 $y'_x = y'_u . u'_x$
$y'_x = (ln \ u)' . (2x - 1)'$
$y'_x = {1 \over u} . 2$
$y'_x = {2 \over 2x - 1}$
解(4):
(4)函数的复合函数分别是y = $n^2$, n = cos u, u = ${1 \over x}$
根据公式 $y'_x = y'_n . n'_u . u'_x$
$y'_x = (n^2)' . (cos \ u)' . ({1 \over x})'$
$y'_x = 2n . (- sin \ u) . (-{1 \over x^2})$
$y'_x = 2 cos{1 \over x} . (- sin {1 \over x}) . (-{1 \over x^2})$
$y'_x = {2 {sin {1 \over x} . cos {1 \over x}} \over x^2}$
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
在某个区间 (a,b) 上, 如果 f'(x) > 0, 那么函数 f(x) 在区间 (a,b) 上单调递增.
在某个区间 (a,b) 上, 如果 f'(x) < 0, 那么函数 f(x) 在区间 (a,b) 上单调递减.
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
如下图一, 是函数 $f(x) = sin({x \over 3}) * 6$ 的函数
设函数最低点a(-$3 \pi \over 2$, -6), 最高点b($3 \pi \over 2$, 6)
我们把 a 点叫做函数 f(x) 的极小值点, f(-$3 \pi \over 2$) = -6 叫做极小点.
我们把 b 点叫做函数 f(x) 的极大值点, f($3 \pi \over 2$) = 6 叫做极大点.
极小值点, 极大值点统称为极值点. 极小值和极大值统称为极值(extremum).
极值点的导数为0.
反函数的导数 = 直接函数导数的倒数.(高数上册87页)