第四章 数列

数列的一般形式是 $a_1, \ a_2, \ a_3, \ ... \ a_n$, (n ≥ 1)
简记为 $\{a_n\}$

如果数列$\{a_n\}$的第n项 $a_n$。与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示, 那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

像 $a_n=3a_{n-1}$(n≥2) 这样, 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项和递推公式,就能求出数列的每一项了.

把数列$\{a_n\}$从第1项起到第n项止的各项之和, 称为数列$\{a_n\}$的前n项和, 记作$S_n$, 即
$S_n = a_1 + a_2 + … + a_n$

例: 已知数列$\{a_n\}$的前n项和公式为$S_n = n^2 + n$, 你能求出$\{a_n\}$的通项公式吗?
解:
∵ $a_1=S_1$ = 2,
$a_n = S_n - S_{n-1}$
= $n^2 + n - [(n-1)^2 + (n-1)]$
= 2n (n ≥ 2),
并且当n=1时, $a_1$=2×1=2 依然成立, 所以{an}的通项公式是$a_n = 2n$.

  如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列(arithmetic progression).
  这个常数叫做等差数列的公差(common difference), 公差通常用字母 d 表示.

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设一个等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$, 公差为 d. 根据等差数列的定义, 可得
$a_{n + 1} - a_n$ = d
所以 $a_2 - a_1 = d, \ a_3 - a_2 = d, \ a_4 - a_3 = d, \ ...$
于是 $a_2 = a1 + d, \ a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$
因此, 首项为$a_1$, 公差为 d 的等差数列$\{a_n\}$的通项公式为:
$a_n = a_1 + (n - 1)d$

例1: Sn = 1 + 2 + 3 + ... + 100;
$S_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n$;
= $(a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + ...$
= $(a_1 + a_n) . {n \over 2}$
$S_n = {(a_1 + a_n) {n \over 2}}$

例2:
已知a1 = 1, 公差d = 1, 求前100项的和.
根据以上2个公式, 可以推出Sn 与 公差d的关系:
$S_n = na_1 + {n(n - 1) \over 2} d$

如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列(geometric progression), 这个常数叫做等比数列的公比(common ratio), 公比通常用字母 q 表示(显然q≠0).
$a_2 = a_1.q$;
$a_3 = a_2.q = a_1.q^2$;
$a_4 = a_3.q = a_1.q^3$;
$a_n = a_1.q^{n-1}$

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n$
$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1}$......①
$qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^n$......②
用② - ①得:
$S_n = a_1 {q^n - 1 \over q - 1}$
$S_n = {a_nq - a_1 \over q - 1}$

数列的求和方法, 来自知乎: 高中数学：数列求和的8种常用方法(最全) - 知乎.html
1. 公式法(定义法)
      ①.等差数列求和公式
      ②.等比数列求和公式
2. 倒序相加法
3. 错位相减法
4. 裂项相消法
5. 分段求和法
6. 分组求和法
7. 并项求和法
8. 利用数列的通项求和法

证明一个与正整数n有关的命题, 可按下列步骤进行:
(1) (归纳奠基) 证明当 $n = n_0 \ (n_0 ∈ N^*)$ 时命题成立.
(2) (归纳奠基) 以 "当 $n = k \ (k ∈ N^*, \ k ≥ n_0)$ 时命题成立" 为条件, 推出"当 n = k + 1 时命题也成立".
只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 $n_0$ 开始的所有正整数 n 都成立, 这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction).