第一章 集合与常用逻辑用语

概念...(见网页)

集合通常用大写字母A, B, C...表示, 集合的元素通常用小写字母a, b, c...表示.
如果 a 是集合 A 的元素, 就记作: a ∈ A, 读作"a 属于 A".
如果 a 不是集合 A 的元素, 就记作:a ∉ A, 读作"a 不属于A".

有一些数的集合经常要用到, 为了方便起见, 人们用约定成俗的来表示它们.
1.所有非负整数组成的集合, 称为自然数集, 记作 N (从0到+∞, 包含0).
1.1.在自然数集 N 中, 去掉元素 0 后的集合, 称为正整数集, 称作 $N_+$ 或 $N^*$.
2.所有整数组成的集合, 称为整数集, 记作 Z.
3.所有有理数组成的集合, 称为有理数集, 记作 Q.
  凡是能表示成分数(2个整数的商)的数称为有理数. 例:
  3 ∈ Q, $1 \over 2$ ∈ Q, 且 $3 \over {1 \over 2}$ = 6 ∈ Q, π ∉ Q.
4.所有实数组成的集合, 称为实数集, 记作 R.

1.集合A = {1,3}, B = {1,3,5,6}, 容易看出集合A的任意一个元素都是集合B的元素. 那么集合A称为集合B的子集, 记作:
  A⊆B (或 B⊇A), 读作"A包含于B (或 "B包含于A").
2.对应地, 如果A不是B的子集, 则记作:
  A⊈B (或 B⊉A), 读作"A不包含于B (或 "B不包含于A").
3.任意集合都是它自身的子集, 记作: A⊆A.
4.空集不包含任何元素, 所以空集是任意一个集合A的子集, 记作: ∅⊆A.

即A⊆B, 但是B里面还要其它元素, A不完全等于B, 称A为B的真子集, 记作: A⫋B, 读作"A真包含于B".

如果集合 C 即属于集合 A, 又属于集合 B, 则称集合 C 是集合A和集合B的交集, 记作:
$A∩B = C$.
$A ∩ ∅ = ∅$

两个集合组成的集合, 叫做并集, 记作:
$A∪B = C$.

班级全部同学=全集U, 全部女同学是集合A, 则另外的同学集合 B 称为集合A的补集.
$A∪B = U$, $A∩B =$ ∅,   则A, B互为对方的补集.

			5 * 5 = 25: 真命题
			5 * 5 = 26: 假命题
		

$∀$: 全称量词: 任意, 所有, 每一个
  全称量词命题就是形容如 "对集合M中的所有元素 x, r(x)" 的命题, 可简记为: ∀ x∈M, r(x).
$∃$: 存在量词: 存在, 有, 至少有一个
  存在量词命题就是形容如 "存在集合M中的元素 x, r(x)" 的命题, 可简记为: ∃ x∈M, r(x).

"如果 p, 那么 q".
p 推出 q, 记作: $p ⇒ q$,
我们称 $p$ 是 $q$ 的充分条件, $q$ 是 $p$ 的必要条件.

1.如果 $p ⇒ q$, $q ⇏ p$, 则称 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件.
2.如果 $p ⇏ q$, $q ⇒ p$, 则称 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件.
3.如果 $p ⇒ q$ 且 $q ⇒ p$, 则称 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件, 简称"充要条件", 记作:
  $p ⇔ q$